Inhoud

• Stappen
• Tips

Voor degenen die moeite hebben met wiskunde, kan het zien van het symbool van een vierkantswortel koude rillingen veroorzaken. De problemen met deze operator zijn echter niet zo moeilijk als ze lijken. Soms kunnen eenvoudige vierkantswortelproblemen net zo eenvoudig zijn als een eenvoudige vermenigvuldiging of deling. Aan de andere kant kunnen meer gecompliceerde problemen meer werk zijn. Toch zien ze er met de juiste aanpak allemaal gemakkelijk uit. Begin nu met het oefenen van vierkantswortelproblemen en leer deze nieuwe rekenvaardigheid radicaal!

Stappen

Deel 1 van 3: Begrijp het concept van vierkantswortels en vierkantswortels

1. 

   Voordat u vierkantswortels begrijpt, moet u eerst begrijpen wat het kwadraat van een getal is. Het is gemakkelijk te begrijpen. Om een ​​getal te kwadrateren, vermenigvuldigt u het gewoon met zichzelf. 3 kwadraat is bijvoorbeeld hetzelfde als 3 × 3 = 9, en 9 kwadraat is hetzelfde als 9 × 9 = 81. De vierkanten worden aangegeven met een kleine "2" in de rechterbovenhoek van het te verhogen getal, zoals dit: 3, 9, 100 enzovoort.
   • Om het concept te oefenen, probeert u nog een paar getallen te kwadrateren. Onthoud dat het kwadrateren van een getal simpelweg het vermenigvuldigen met zichzelf is. U kunt dit zelfs doen met negatieve getallen, maar onthoud dat in dit geval het antwoord altijd positief zal zijn. Bijvoorbeeld -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Om de vierkantswortel te vinden, zoek je de "inverse" van de potentiëring. Het wortelsymbool (√, ook wel "radicaal" genoemd) betekent in feite het "tegenovergestelde" van het symbool. Als je een radicaal ziet, vraag jezelf dan af: 'Welk getal kan ik met zichzelf vermenigvuldigen zodat het resultaat het getal binnen de radicaal is?' Als je bijvoorbeeld √ (9) ziet, probeer dan het getal te vinden dat, in het kwadraat, is gelijk aan 9. In dit geval is het antwoord drieomdat 3 = 9.
   • Nog een voorbeeld: laten we de vierkantswortel van 25 (√ (25)) vinden. Dit betekent dat we het getal moeten vinden dat, in het kwadraat, gelijk is aan 25. Aangezien 5 = 5 × 5 = 25, kunnen we zeggen dat √ (25) = 5.
   • U kunt deze bewerking ook zien als een manier om een ​​vierkante hoogte "ongedaan te maken". Als we bijvoorbeeld √ (64) moeten vinden, de vierkantswortel van 64, moeten we 64 beschouwen als 8. Aangezien de vierkantswortel in feite een hoogte in het kwadraat "annuleert", kunnen we zeggen dat √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Begrijp het verschil tussen perfecte vierkante getallen en imperfecte vierkante getallen. Tot nu toe waren de antwoorden op onze vierkantswortelproblemen hele getallen. Het zal niet altijd gebeuren. In feite kan het resultaat van een stralingsoperatie soms resulteren in lange, gecompliceerde decimalen. Als de wortel van een getal een geheel getal is, dat wil zeggen, als het geen breuk of decimaal is, wordt het genoemd perfect vierkant. Alle bovenstaande voorbeelden (9, 25 en 64) zijn perfecte vierkanten omdat hun wortels gehele getallen zijn (respectievelijk 3, 5 en 8).
   • Aan de andere kant worden nummers genoemd waarvan de wortels niet heel zijn onvolmaakte vierkanten. Wanneer we de wortel van een van deze getallen berekenen, krijgen we een resultaat dat meestal een breuk of een decimaal is. Soms kunnen de betrokken decimalen behoorlijk ingewikkeld zijn, zoals in het voorbeeld: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Onthoud tenminste de eerste 12 perfecte vierkanten. Zoals we hebben laten zien, kan het berekenen van de vierkantswortel van een getal heel eenvoudig zijn! Het is dus belangrijk om de tijd te nemen om de vierkantswortels van de eerste tien perfecte vierkanten te onthouden. Ze komen vaak voor op tests, dus als u ze uit het hoofd leert, kunt u veel tijd besparen. De eerste 12 perfecte vierkanten zijn:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Vereenvoudig indien mogelijk de wortels door de perfecte vierkanten te verwijderen. Het vinden van de vierkantswortel van onvolmaakte vierkanten kan behoorlijk lastig zijn, vooral als er geen rekenmachine beschikbaar is (in de onderstaande secties leert u trucs om het proces te vereenvoudigen). Het is echter soms mogelijk om de getallen in de wortel te vereenvoudigen om berekeningen te vergemakkelijken. Verdeel gewoon het getal binnen de wortel in factoren, bereken vervolgens de wortel van de factoren die perfecte vierkanten zijn en schrijf het antwoord buiten de radicaal. Dit is gemakkelijker dan het lijkt. Zie hieronder om het beter te begrijpen!
   • Laten we zeggen dat je de root van 900 moet vinden. In eerste instantie lijkt het een vrij moeilijke taak te zijn! Alles is veel gemakkelijker als we de 900 opdelen in factoren. De factoren van een getal "x" zijn een reeks getallen die, indien vermenigvuldigd, resulteren in "x". We kunnen bijvoorbeeld 6 krijgen door 1 × 6 en 2 × 3 te vermenigvuldigen, dus de factoren van 6 zijn 1, 2, 3 en 6.
   • In plaats van te werken met 900, wat een beetje vreemd kan zijn, laten we het in plaats daarvan schrijven als 9 × 100. Nu, omdat 9, wat een perfect vierkant is, gescheiden is van 100, kunnen we de vierkantswortel berekenen. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Dat wil zeggen, √ (900) = 3√(100).
   • We kunnen nog twee keer vereenvoudigen, 100 verdelen in factoren 25 en 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. We kunnen dus zeggen dat √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Gebruik denkbeeldige getallen om de wortel van negatieve getallen te berekenen. Vraag uzelf af, welk getal vermenigvuldigd met zichzelf resulteert in -16? Het is geen 4 of -4, want het kwadraat van deze twee getallen is 16. Moeten we opgeven? In feite is er geen manier om de vierkantswortel van -16 of enig ander negatief getal te schrijven met alleen reële getallen. In dergelijke gevallen moeten we denkbeeldige getallen gebruiken (meestal in de vorm van letters of symbolen) om de vierkantswortel van een negatief getal te vervangen. De variabele "i" wordt bijvoorbeeld gebruikt om de vierkantswortel van -1 aan te duiden. Als algemene regel geldt dat de wortel van een negatief getal altijd een denkbeeldig getal is (of in ieder geval omvat).
   • Onthoud dat zelfs al kunnen imaginaire getallen niet worden weergegeven door reële getallen, ze op sommige manieren toch als zodanig kunnen worden behandeld. Bijvoorbeeld, de wortel van een negatief getal "-x", indien in het kwadraat, resulteert ook in "-x", net als elke andere wortel. Dat wil zeggen, i = -1

Deel 2 van 3: Long Division-achtige methoden gebruiken

1. 

   Behandel het vierkantswortelprobleem alsof het een staartdeling is. Ondanks dat het een beetje omslachtig is, kunt u de vierkantswortel van gecompliceerde onvolmaakte kwadraten vinden zonder een rekenmachine te gebruiken. De methode (of algoritme) is vergelijkbaar (maar niet hetzelfde) als die van de staartdeling. De staartdeling is die traditionele methode die wordt gebruikt om divisies met de hand te berekenen.
   • Begin met de initiële positionering van het probleem, die vergelijkbaar zal zijn met die van de staartdeling. Stel dat u bijvoorbeeld de wortel van 6,45 moet vinden, wat zeker geen perfect vierkant is. Eerst schrijven we een vierkantswortelsymbool (√) en dan zetten we ons nummer erin. Vervolgens moeten we een lijn maken vanaf het symbool √ totdat het het hele getal bedekt, en het in een vak laten dat lijkt op het vak waar de staartdeling zich bevindt. Het verschil is dat het antwoord hier boven dat kader staat, niet eronder, zoals bij de traditionele indeling. Als we klaar zijn, hebben we een langwerpig "√" -teken, dat het volledige aantal van 6,45 bedekt.
   • Laten we cijfers op dit vak schrijven, dus laat ruimte over.

2. 

   Groepeer de cijfers in paren. Om het probleem op te lossen, groepeert u de cijfers van het getal in de stam in paren, beginnend met de komma. U kunt kleine markeringen (zoals punten, balken, komma's, enz.) Tussen paren aanbrengen om ze te scheiden.
   • In ons voorbeeld moeten we 6,45 als volgt in drie paren verdelen: 6-,45-00. Zie dat er aan de linkerkant een cijfer minder is, daar is geen probleem mee.

3. 

   Zoek het grootste getal waarvan het kwadraat kleiner is dan of gelijk is aan de waarde van de eerste "groep". Begin met het eerste paar cijfers aan de linkerkant. Kies het grootste getal waarvan het vierkant kleiner is dan of gelijk is aan de "groep". Als de groep bijvoorbeeld 37 was, kies dan 6, want 6 = 36 <37 maar 7 = 49> 37. Schrijf dit getal boven de eerste groep. Dit is het eerste cijfer van het antwoord.
   • In ons voorbeeld is de eerste groep in 6-, 45-00 6. Het eerste grootste getal waarvan het kwadraat kleiner is dan of gelijk is aan 6 is 2, omdat 2 = 4. Schrijf "2" over de 6 die binnen de radicaal staat.

4. 

   Kijk naar het eerste cijfer van het antwoord (het getal dat we zojuist hebben gevonden) en vermenigvuldig het met twee. Schrijf nu het resultaat onder de eerste groep en voer een aftrekking uit om het verschil te vinden. Blader vervolgens naar het volgende paar getallen en tel ze op bij het verschil dat we zojuist hebben gevonden. Schrijf tot slot het laatste cijfer het dubbele van het eerste cijfer van het antwoord aan de linkerkant en laat er een spatie naast.
   • In ons voorbeeld zou de eerste stap zijn om het dubbele van 2 te vinden, het eerste cijfer van het antwoord. 2 × 2 = 4. Vervolgens moeten we 4 aftrekken van 6 (onze eerste "groep"), waarbij we 2 als antwoord krijgen. Nu moeten we naar de volgende groep (45) gaan om 245 te krijgen. Ten slotte schrijven we weer 4 aan de linkerkant, en laten we een kleine lege ruimte aan de rechterkant, als volgt: 4_.

5. 

   Vul de blanco in. Nu moeten we een cijfer plaatsen in plaats van de lege ruimte naast het cijfer dat we aan de linkerkant schrijven. Kies het cijfer dat, vermenigvuldigd met het getal aan de linkerkant waarbij de lege ruimte wordt vervangen door zichzelf, een maximale waarde heeft, maar minder dan het getal aan de rechterkant. Dit lijkt misschien een beetje ingewikkeld, dus laten we enkele voorbeelden bekijken om te begrijpen. Als het getal dat naar beneden ging, dat wil zeggen het getal aan de rechterkant, 1700 is en het getal aan de rechterkant 40_, vullen we de spatie in met het getal 4, omdat 404 × 4 = 1616 <1700 en 405 × 5 = 2025 Het nummer dat in deze stap wordt gevonden, is het tweede cijfer van het antwoord, dus u kunt het boven het stengelsymbool toevoegen.
   • In ons voorbeeld moeten we het getal vinden om de lege ruimte in 4_ × _ in te vullen die het antwoord zo groot mogelijk maakt, maar kleiner dan of gelijk aan 245. In ons geval is het antwoord 5omdat 45 × 5 = 225 en 46 × 6 = 276.

6. 

   Ga door met het gebruik van de cijfers die de lege plekken invullen om het antwoord samen te stellen. Ga door met deze aangepaste staartdelingsmethode totdat u nullen krijgt door het getal dat van de radicaal afdaalt af te trekken of totdat u het gewenste precisieniveau bereikt. Als u klaar bent, vormen de cijfers die worden gebruikt om de lege plekken bij elke stap in te vullen (en natuurlijk het eerste nummer dat we gebruiken) de antwoordcijfers.
   • Als we ons voorbeeld voortzetten, trekken we 225 af van 245 om 20 te krijgen. Vervolgens gaan we het cijferpaar 00 omlaag om 2000 te krijgen. Door de getallen boven de radicaal te verdubbelen, hebben we 25 × 2 = 50. Door het getal van de spatie in te stellen op 50_ × _ = / <2.000, we krijgen 3. Op dit punt hebben we "253" over de radicaal. Als we het proces opnieuw herhalen, krijgen we een 9 als het volgende cijfer.

7. 

   Plaats de komma op de juiste positie in het antwoord. Om het antwoord af te maken, moeten we nog steeds de komma op de juiste plaats zetten. Dit deel is eenvoudig: plaats de komma in het antwoord op dezelfde positie als de komma in het getal binnen de radicaal. Als het getal binnen de radicaal bijvoorbeeld 49,8 is, plaatst u de komma in het antwoord op de plaats die overeenkomt met de onderstaande, dat wil zeggen tussen de twee getallen boven de 9 en 8.
   • In ons voorbeeld is het getal binnen de radicaal 6,45. Om het antwoord te krijgen, plaatst u gewoon de komma tussen de cijfers boven de 6 en 4, in dit geval respectievelijk 2 en 5, om het antwoord te krijgen: 2,539.

Deel 3 van 3: Snel inschatten van imperfecte vierkanten

1. 

   Vind het antwoord door middel van een schatting. Als je eenmaal de wortel van enkele perfecte vierkanten kent, wordt het een stuk gemakkelijker om de wortel van onvolmaakte vierkanten te vinden. In een vorige stap raden we aan om ten minste de eerste twaalf perfecte vierkanten en hun wortels te onthouden. Het goede nieuws is dat we de schatting kunnen gebruiken om een ​​benadering te krijgen van de wortel van een onvolmaakt vierkant dat tussen twee perfecte vierkanten ligt die we kennen. Daarvoor moeten we het eerste perfecte vierkant vinden dat groter is dan het gewenste getal en het laatste kleinere, zodat het getal in kwestie tussen de twee in ligt. Vervolgens moeten we proberen uit te vinden welke van deze twee perfecte vierkanten de wortel van het gewenste getal het dichtst benadert.
   • Stel dat we de vierkantswortel van 40 moeten vinden. Aangezien we onze perfecte vierkanten onthouden, kunnen we zeggen dat 40 tussen 6 en 7 ligt, dat wil zeggen tussen 36 en 49. Aangezien 40 groter is dan 6, zal de vierkantswortel zijn groter dan 6. Evenzo, aangezien het kleiner is dan 7, zal de wortel kleiner zijn dan 7. 40 is iets dichter bij 36 dan 49, dus ons antwoord zal waarschijnlijk dichter bij 6 liggen. In de volgende stappen , vergroten we de nauwkeurigheid van onze schatting.

2. 

   Verhoog de precisie tot op één decimaal. Als je eenmaal de twee opeenvolgende perfecte vierkanten hebt gevonden die een bereik vormen dat je getal bevat, probeer dan gewoon de nauwkeurigheid van de schatting te vergroten tot een punt dat je bevredigend vindt. Hoe meer pogingen worden gedaan om de schatting te verbeteren, hoe groter de nauwkeurigheid. Schat om te beginnen de waarde van de eerste decimaal. Deze schatting hoeft niet correct te zijn, maar het gebruik van logica om een ​​waarde te kiezen die waarschijnlijk het dichtst bij het antwoord ligt, zal het proces vergemakkelijken.
   • In ons voorbeeld zou een acceptabele schatting voor de vierkantswortel van 40 kunnen zijn 6,4, omdat we al weten dat het antwoord waarschijnlijk iets dichter bij 6 dan 7 ligt.

3. 

   Vermenigvuldig de schatting met zichzelf. Tenzij u veel geluk heeft, is het resultaat niet het startnummer (in ons voorbeeld 40). U moet de schatting aanpassen om dichter bij het juiste antwoord te komen.Als het resultaat hoger is dan het startnummer (dat wil zeggen, hoger dan 40), probeer dan een lagere schatting. Evenzo, als het resultaat onder het gewenste aantal ligt, verhoogt u de schatting.
   • Vermenigvuldig 6,4 met zichzelf om 6,4 × 6,4 = te krijgen 40,96, wat iets hoger is dan ons oorspronkelijke nummer.
   • Omdat onze schatting net boven de juiste waarde lag, laten we deze dus met een tiende verlagen om 6,3 × 6,3 = te krijgen 39,69. Nu was het resultaat iets minder dan ons oorspronkelijke aantal. Dit betekent dat de wortel van 40 een getal is tussen 6,3 en 6,4. Bovendien, aangezien 39,69 dichter bij 40 dan 40,96 ligt, weten we dat de wortel dichter bij 6,3 ligt, niet bij 6,4.

4. 

   Ga indien nodig door met het verbeteren van de schatting. Als u nu tevreden bent met het antwoord, gebruik dan een van de eerste benaderingen als schatting. Als u echter een nauwkeuriger antwoord nodig heeft, probeer dan gewoon de tweede decimaal, een waarde kiezen tussen de vorige twee (dat wil zeggen tussen 6,3 en 6,4). Met behulp van deze methode kunnen we drie decimalen schatten, vier, vijf enzovoort, alleen afhankelijk van de precisie die voor het antwoord vereist is.
   • In ons voorbeeld kunnen we 6,33 kiezen om onze schatting tot op twee decimalen te maken. Vermenigvuldig de 6,33 met zichzelf om 6,33 × 6,33 = 40,0689 te krijgen. Omdat dit resultaat iets boven ons oorspronkelijke getal lag, kunnen we een iets lagere waarde kiezen, zoals 6,32. In dit geval 6,32 × 6,32 = 39,9424, een resultaat iets onder het startnummer. Daarom kunnen we concluderen dat de exacte wortel van 40 is tussen 6,32 en 6,33. Indien nodig kunnen we deze methode voortzetten om steeds nauwkeurigere benaderingen van de wortel van het gewenste getal te verkrijgen.

Tips

• Gebruik een rekenmachine als je een snelle oplossing nodig hebt. De meeste moderne rekenmachines kunnen vierkantswortels onmiddellijk berekenen. Typ in het algemeen een willekeurig getal en druk op de knop met het vierkantswortelsymbool. Om bijvoorbeeld de wortel van 841 te vinden, drukt u gewoon op 8, 4, 1 en vervolgens op (√) om het antwoord te krijgen: 39.