Inhoud

• Stappen
• Waarschuwingen

In calculus, als je een vergelijking hebt voor y geschreven in termen van X (zoals y = x -3x), is het gemakkelijk om basale differentiatietechnieken te gebruiken (wat wiskundigen kennen als "expliciete differentiatie" -technieken) om de afgeleide te vinden. In het geval van vergelijkingen die echter moeilijk te reorganiseren zijn door y aan één kant van het gelijkteken te plaatsen (zoals bijvoorbeeld x + y - 5x + 8y + 2xy = 19), is een andere methode nodig.Met behulp van een techniek die impliciete differentiatie wordt genoemd, is het gemakkelijk om de afgeleiden van vergelijkingen met meerdere variabelen te vinden, zolang je de basisconcepten van expliciete differentiatie al kent!

Stappen

Methode 1 van 2: Eenvoudige vergelijkingen snel differentiëren

1. 

   
   
   Onderscheid termen X zoals u normaal zou doen. Als je een vergelijking probeert te onderscheiden van meerdere variabelen, zoals x + y - 5x + 8y + 2xy = 19, kan het moeilijk zijn om te weten waar je moet beginnen. Gelukkig is de eerste stap in impliciete differentiatie de gemakkelijkste. Om te beginnen onderscheid je de termen gewoon met X en constanten aan beide zijden van de vergelijking volgens de regels van reguliere differentiatie (expliciet). Negeer de term voorlopig y.
   • Laten we de vorige eenvoudige vergelijking differentiëren. De vergelijking x + y - 5x + 8y + 2xy = 19 heeft twee termen met X: x. Als we de vergelijking willen differentiëren, moeten we deze als volgt oplossen:

     x + y - 5x + 8y + 2xy = 19

     (Verlaag de exponent "2" in x om het als een coëfficiënt te plaatsen, elimineer de X -5x, en verander 19 in 0)

     2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0

2. 

   
   
   Onderscheid termen met y en plaats "(dy / dx)" naast elk. Maak in de volgende stap gewoon een onderscheid tussen de termen met y net zoals je deed met de voorwaarden van x. Voeg deze keer echter "(dy / dx)" toe naast elk, op dezelfde manier waarop u een coëfficiënt zou toevoegen. Als u bijvoorbeeld y differentieert, wordt het 2y (dy / dx). Negeer voorlopig termen die x en y hebben.
   • In ons huidige voorbeeld ziet de vergelijking er als volgt uit: 2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0. We zullen deze differentiatiestap y als volgt uitvoeren:

     2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0

     (Verlaag de exponent "2" in y om het als een coëfficiënt te plaatsen, verwijder de y in 8y, en plaats een "dy / dx" naast elk).

     2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0

3. 

   
   
   Gebruik de productregel of de quotiëntregel voor termen die zowel x als y hebben. Het oplossen van termen met x en y is één weinig ingewikkeld, maar als u de productregel en de differentiatiequotiëntregel kent, zult u geen problemen hebben. Als de termen x en y worden vermenigvuldigd, gebruik dan de productregel ((f × g) ’= f’ × g + g × f ’), waarbij de term wordt vervangen X door f en de term y door g .. Aan de andere kant, als de termen x en y onderling verdeeld zijn, gebruik dan de quotiëntregel ((f / g) ’= (g × f '- g' × f) / g), waarbij de term in de nummer één wordt vervangen door f en de term in de noemer door g.
   • In ons voorbeeld, 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0, hebben we maar één term met beide X en y, dat is 2xy. Sinds X en y vermenigvuldigen, moeten we de productregel gebruiken om ze als volgt te differentiëren:

     2xy = (2x) (y) - stel 2x = f en y = g in (f × g) ’= f’ × g + g × f ’

     (f × g) ’= (2x)’ × (y) + (2x) × (y) ’

     (f × g) ’= (2) × (y) + (2x) × (2y (dy / dx))

     (f × g) ’= 2y + 4xy (dy / dx)

   • Als we onze hoofdvergelijking opnieuw toevoegen, krijgen we 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0

4. 

   Isoleer (dy / dx). Je bent bijna klaar! Nu hoef je alleen nog de vergelijking voor (dy / dx) op te lossen. Het klinkt moeilijk, maar is dat meestal niet; houd er rekening mee dat de voorwaarden De en B dat vermenigvuldigen met (dy / dx) kan worden geschreven als (a + b) (dy / dx) dankzij de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging Deze tactiek kan het gemakkelijk maken om te isoleren (dy / dx); plaats alle andere termen aan de andere kant van de haakjes en verdeel ze tussen de termen die tussen haakjes staan ​​naast (dy / dx).
   • In ons voorbeeld kunnen we 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0 als volgt vereenvoudigen:

     2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0

     (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y = 0

     (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y - 2x + 5

     (dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

     (dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Methode 2 van 2: Geavanceerde technieken gebruiken

1. 

   Verbind de waarden (x, y) om op een willekeurig punt (dy / dx) te vinden. Gefeliciteerd! Je hebt de vergelijking impliciet gedifferentieerd, wat geen gemakkelijke taak is voor beginners! Het gebruik van deze vergelijking om de helling (dy / dx) op elk punt (x, y) te vinden, is net zo eenvoudig als het verbinden van twee waarden X en y naar het punt aan de rechterkant van de vergelijking en los dan op (dy / dx).
   • Stel dat we de helling van het punt (3, -4) voor de vorige vergelijking willen vinden. Om dit te doen, moeten we 3 vervangen door X en -4 per y, als volgt oplossen:

     (dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

     (dy / dx) = (-2 (-4) - 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)

     (dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))

     (dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))

     (dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))

     (dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48, of 0.6875.

2. 

   Gebruik de kettingregel voor rollen binnen andere rollen. Als het gaat om rekenproblemen (inclusief impliciete differentiatieproblemen), is het erg belangrijk om de kettingregel te kennen. Deze regel stelt dat voor een functie F (x) dat kan worden geschreven als (f De g) (x), de afgeleide van F (x) is gelijk aan f '(g (x)) g' (x). Voor impliciete differentiatieproblemen die meer moeite hebben, betekent dit dat het mogelijk is om verschillende afzonderlijke "delen" van de vergelijking te differentiëren en vervolgens het resultaat bij elkaar op te tellen.
   • Stel dat we als eenvoudig voorbeeld de afgeleide van sem (3x + x) moeten vinden. Als we zonder (3x + x) beschouwen als "f (x)" en 3x + x als "g (x)", kunnen we de differentiatie als volgt vinden:

     f '(g (x)) g' (x)

     (sin (3x + x)) ’× (3x + x)’

     cos (3x + x) × (6x + 1)

     (6x + 1) cos (3x + x)

3. 

   Zoek voor vergelijkingen met variabelen x, y en z (dz / dx) en (dz / dy). Hoewel dit niet gebruikelijk is in basisberekeningen, kunnen sommige geavanceerde toepassingen de impliciete differentiatie van meer dan twee variabelen vereisen. Voor elke extra variabele zal het nodig zijn om een ​​extra afgeleide te vinden met betrekking tot x. Als u bijvoorbeeld met de variabelen x, y en z werkt, moet u (dz / dy) en (dz / dx) vinden. We kunnen de vergelijking tweemaal differentiëren met betrekking tot x. De eerste keer zullen we a (dz / dx) plaatsen elke keer dat we een term differentiëren met z en de tweede keer zullen we a (dz / dy) plaatsen elke keer dat we een z differentiëren. Daarna is het gewoon een kwestie van (dz / dx) en (dz / dy) oplossen.
   • Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we xz - 5xyz = x + y willen differentiëren.
   • Ten eerste maken we onderscheid met betrekking tot x en plaats (dz / dx). Vergeet niet om de productregel waar nodig toe te passen!

     xz - 5xyz = x + y

     3xz + 2xz (dz / dx) - 5yz - 5xy (dz / dx) = 2x

     3xz + (2xz - 5xy) (dz / dx) - 5yz = 2x

     (2xz - 5xy) (dz / dx) = 2x - 3xz + 5yz

     (dz / dx) = (2x - 3xz + 5yz) / (2xz - 5xy)

   • Nu zullen we hetzelfde doen voor (dz / dy)

     xz - 5xyz = x + y

     2xz (dz / dy) - 25xyz - 5xy (dz / dy) = 3y

     (2xz - 5xy) (dz / dy) = 3y + 25xyz

     (dz / dy) = (3y + 25xyz) / (2xz - 5xy)

Waarschuwingen

• Zoek altijd naar delen van de vergelijking waar het nodig is om het quotiënt of de productregel toe te passen, aangezien deze gemakkelijk te vergeten zijn.