Schrijver:
Mike Robinson
Datum Van Creatie:
16 September 2021
Updatedatum:
8 Kunnen 2024
Inhoud
Een polynoom bevat een variabele (x) verheven tot een macht, bekend als een graad, en verschillende termen en / of constanten. Factoring van een polynoom betekent dat de uitdrukking wordt verdeeld in kleinere, vermenigvuldigende uitdrukkingen. Deze kennis wordt bestudeerd vanuit Algebra I, en kan moeilijk te begrijpen zijn als je geen wiskundige kennis op dat niveau hebt.
Stappen
Beginnend
Stel de uitdrukking samen. Het standaardformaat voor de kwadratische vergelijking is:
bijl + bx + c = 0
Begin met het ordenen van de termen van de vergelijking van het hoogste naar het laagste vermogen, net als in het bovenstaande formulier. Neem het bijvoorbeeld;6 + 6x + 13x = 0
De uitdrukking wordt opnieuw gerangschikt, zodat deze gemakkelijker kan worden uitgewerkt door de locatie van de termen te wijzigen:6x + 13x + 6 = 0 
Vind het gefactureerde formulier met behulp van een van de onderstaande methoden. Factoring van een polynoom resulteert in twee kleinere uitdrukkingen die kunnen worden vermenigvuldigd om de originele polynoom te produceren:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
In dit voorbeeld zijn (2x +3) en (3x + 2) factoren van de oorspronkelijke uitdrukking, 6x + 13x + 6.
Bekijk het resultaat! Vermenigvuldig de geïdentificeerde factoren. Combineer dan gewoon de vergelijkbare termen. Beginnen met:(2x + 3) (3x + 2)
We zullen het testen met behulp van de FOIL-methode (Engels voor Eerst buiten, binnen, als laatste - eerst die van buitenaf, dan die van binnenuit), ook wel distributieve eigenschap van vermenigvuldiging genoemd, en verkrijgt:6x + 4x + 9x + 6
Nu is het mogelijk om 4x en 9x toe te voegen, aangezien het vergelijkbare termen zijn. U weet dat de factoren correct zijn omdat de oorspronkelijke vergelijking werd verkregen:6x + 13x + 6
Methode 1 van 6: vallen en opstaan
Als je een vrij eenvoudige polynoom hebt, kun je de factoren misschien zelf ontdekken door ernaar te kijken. Na het oefenen zijn veel wiskundigen bijvoorbeeld in staat om die uitdrukking te identificeren 4x + 4x + 1 heeft de factoren (2x + 1) en (2x + 1) na veel met deze uitdrukking te hebben gewerkt. Maar het is duidelijk dat dit niet zo gemakkelijk zal zijn met de meer gecompliceerde polynomen. In dit voorbeeld zullen we een minder gebruikelijke uitdrukking gebruiken:
Maak een lijst van de factoren van de termen De en ç. Met behulp van het standaardformaat bijl + bx + c = 0, identificeer de voorwaarden van De en ç en maak een lijst van uw factoren. Voor 3x + 2x - 8 betekent dit:
a = 3 en heeft een reeks factoren: 1 * 3 c = -8 en heeft vier sets factoren: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 en -1 * 8.
Monteer twee sets lege haakjes. Je vult ze met de constanten voor elke uitdrukking:
(x) (x)
Vul de spaties voor de x's in met een aantal mogelijke factoren voor de waarde De. Voor de looptijd De in het gebruikte voorbeeld, 3x, is er maar één mogelijkheid:
(3x) (1x)
Vul de twee spaties achter de x's in met een aantal factoren voor de constanten. Stel je voor dat je de cijfers 8 en 1 kiest. Schrijf ze op:
(3x8) (x1)
Bepaal welke tekens (plus of min) tussen de variabelen in x en de getallen moeten staan. Afhankelijk van de tekens in de oorspronkelijke uitdrukking, is het mogelijk om erachter te komen wat de tekens van de constanten moeten zijn. Laten we de twee constanten voor de twee factoren noemen H. en k:
Als ax + bx + c, dan (x + h) (x + k) Als ax - bx - c of ax + bx - c, dan (x - h) (x + k) Als ax - bx + c, dan (x - h) (x - k)
Bijvoorbeeld, 3x + 2x - 8, de tekens moeten zijn: (x - h) (x + k), wat resulteert in twee factoren:(3x + 8) en (x - 1)
Test uw keuzes met behulp van de distributieve eigenschap. Een eerste snelle test die moet worden uitgevoerd, is om te zien of de middelste termen overeenkomen met de juiste waarden. Zo niet, dan heeft u wellicht de verkeerde factoren gekozen çLaten we het antwoord testen:
(3x + 8) (x - 1)
Als je vermenigvuldigt, krijg je:3x - 3x + 8x - 8
Door deze uitdrukking te vereenvoudigen door de gelijkaardige termen (-3x) en (8x) toe te voegen, krijgt u:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Nu weten we dat we de verkeerde factoren moeten identificeren:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Verander indien nodig factoren. In het gebruikte voorbeeld zullen we proberen 2 en 4 te gebruiken in plaats van 1 en 8:
(3x + 2) (x - 4)
Nu, de term ç is gelijk aan -8, maar het externe / interne product (3x * -4) en (2 * x) is gelijk aan -12x en 2x, die niet worden gecombineerd om de juiste term te creëren B. + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x
Keer de volgorde indien nodig om. Laten we proberen om 2 en 4 te verplaatsen:
(3x + 4) (x - 2)
Nu, de term ç (4 * 2 = 8) is nog steeds correct, maar de externe / interne producten zijn -6x en 4x. Bij het combineren:-6x + 4x = 2x 2x ≠ -2x We zijn bijna 2x, maar het signaal is verkeerd.
Controleer indien nodig de borden. Houd dezelfde volgorde aan, maar verander de volgorde met het minteken:
(3x - 4) (x + 2)
Nu, de term ç nog steeds correct, maar de externe / interne producten zijn (6x) en (-4x). Hoe:6x - 4x = 2x 2x = 2x Nu is het mogelijk om de positieve term 2x van de oorspronkelijke opgave te herkennen. Dit moeten de juiste factoren zijn.
Methode 2 van 6: Ontleding
Deze methode identificeert alle mogelijke factoren van de termen De en ç en gebruikt ze om erachter te komen wat de factoren zouden moeten zijn. Gebruik deze methode als de getallen te groot zijn of de andere methoden ingewikkelder lijken. Laten we het voorbeeld gebruiken:
Vermenigvuldig termen De en ç. In dit voorbeeld zijn beide gelijk aan 6.
6 * 6 = 36
Ontdek de waarde van de term B. factoring en testen. Het is noodzakelijk om twee getallen te vinden die factoren zijn van het product van De * ç en zijn ook gelijk aan de term B. (13) bij elkaar opgeteld.
4 * 9 = 36 4 + 9 = 13
Vervang de twee getallen die in de vergelijking zijn verkregen door de som van de term B.. Laten we gebruiken k en H. om de twee verkregen cijfers weer te geven, 4 en 9:
bijl + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6
Factor het polynoom door middel van groepering. Organiseer de vergelijking zodat u de grootste gemene deler van de eerste twee en de laatste twee termen kunt wegnemen. Beide gefactureerde groepen moeten gelijk zijn. Voeg de grootste gemeenschappelijke factoren toe en zet ze tussen haakjes naast de gefactureerde groep; het resultaat zijn twee factoren:
6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2)
Methode 3 van 6: drievoudig starten
Net als bij ontleding, onderzoekt de "drievoudige start" -methode de mogelijke factoren van de producten van de termen De en ç, gebruikt ze vervolgens om de waarde van te ontdekken B.Beschouw als voorbeeld de volgende vergelijking:
Vermenigvuldig termen De en ç. Dit zal u helpen om de mogelijkheden van de term te identificeren B., evenals de ontledingsmethode. In dit voorbeeld De is gelijk aan 8 en ç is gelijk aan 2.
8 * 2 = 16
Zoek twee getallen met deze getallen, omdat het product en de som gelijk zijn aan de term B.. Deze stap is identiek aan de decompositiemethode - u moet kandidaten voor de constanten testen en weigeren. Het product van de termen De en ç is 16, en de term ç is gelijk aan 10:
2 * 8 = 16 8 + 2 = 10
Neem deze twee nummers en test hun vervanging in de "triple match" -formule. Neem de twee nummers uit de vorige stap - laten we ze bellen H. en k - en zet ze in die uitdrukking:
((ax + h) (ax + k)) / a
In dit geval krijgen we:((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Kijk welke van de twee termen in de teller evenredig deelbaar is door De. In dit voorbeeld testen we of (8x + 8) of (8x + 2) gedeeld kan worden door 8. (8x + 8) deelbaar is door 8, dus laten we deze term delen door De en laat de anderen zoals ze zijn.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
De term die we in dit geval bewaren, is de rest van de deling door de term De: (x + 1)
Neem de grootste gemene deler van een of beide termen, indien van toepassing. In dit voorbeeld heeft de tweede term het getal 2 als grootste gemene deler, aangezien 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combineer dit antwoord met de term die in de vorige stap is geïdentificeerd. Dit zijn de factoren van de vergelijking.
2 (x + 1) (4x + 1)
Methode 4 van 6: Verschil tussen twee wortels
Sommige coëfficiënten in de polynomen kunnen worden geïdentificeerd als "wortels", of het product van twee getallen. Door deze wortels te identificeren, kun je veeltermen veel sneller factoriseren. Beschouw de vergelijking:
Factor indien mogelijk de grootste gemene deler. In dit geval kunnen we zien dat 27 en 12 beide deelbaar zijn door 3, dus laten we ze scheiden:
27x - 12 = 3 (9x - 4)
Bepaal of de coëfficiënten in de vergelijking vierkante getallen zijn. Om deze methode te gebruiken, moet u de exacte vierkantswortel van de termen kunnen nemen. Merk op dat mintekens worden weggelaten, aangezien deze getallen vierkantjes zijn die producten kunnen zijn van twee positieve of negatieve getallen.
9x = 3x * 3x en 4 = 2 * 2
Schrijf de factoren op met behulp van de geïdentificeerde vierkantswortels. Neem de waarden van De en ç van de stap hierboven (De = 9 en ç = 4) en bereken hun vierkantswortels - √De = 3 en √ç = 2. Het zijn de factorcoëfficiënten van de uitdrukkingen:
27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Methode 5 van 6: Kwadratische formule
Als de andere methoden falen en de vergelijking niet uniform wordt verwerkt, gebruikt u de kwadratische formule. Beschouw het volgende voorbeeld:
Vervang de overeenkomstige waarden in de kwadratische formule:
x = -b ± √ (b - 4ac)
--
2a
We krijgen de uitdrukking:x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Bereken de waarde van X. U moet twee waarden verkrijgen voor XZoals hierboven weergegeven, krijgen we twee antwoorden:
x = -2 + √ (3) of x = -2 - √ (3)
Gebruik de waarden van X om de factoren te berekenen. Vervang de waarden van XZij zullen de factoren zijn. Als we de twee antwoorden identificeren als H. en k, moet u de factoren als volgt schrijven:
(x - h) (x - k)
In dit geval is het laatste antwoord:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))
Methode 6 van 6: Een rekenmachine gebruiken
Als het mogelijk is om het te gebruiken, vergemakkelijkt een grafische rekenmachine het factoringproces aanzienlijk, vooral bij tests. De volgende instructies zijn voor een grafische rekenmachine. Beschouw het volgende voorbeeld:
Typ de vergelijking in de rekenmachine. U gebruikt een vergelijkingsoplosser, ook wel scherm genoemd.
Teken de vergelijking op de rekenmachine. Druk na het typen van de vergelijking op de toets - je zou een boog moeten zien die de vergelijking voorstelt (en het zal een boog zijn, aangezien we te maken hebben met polynomen).
Kijk waar de boog de as snijdt X. Aangezien polynoomvergelijkingen meestal worden geschreven als ax + bx + c = 0, zijn dit de twee waarden van X die de uitdrukking gelijk maken aan nul:
(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2 - Als u niet kunt bepalen waar de grafiek de as kruist X, druk op en vervolgens. Druk op of selecteer "nul". Schuif de cursor naar links van het kruispunt en druk op. Schuif de cursor naar rechts van het kruispunt en druk op. Schuif de cursor zo dicht mogelijk bij de kruising en druk op. De rekenmachine berekent de waarde van XDoe hetzelfde voor het andere kruispunt.
Vervang de waarden van X verkregen in de vorige stap in twee faculteit uitdrukkingen. Bij gebruik van de twee waarden van X (H. en k), zal de gebruikte uitdrukking zijn:
(x - h) (x - k) = 0
Daarom moeten de twee factoren zijn:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Tips
- Als u een TI-84 (grafische) rekenmachine heeft, is er een programma genaamd "SOLVER" dat een kwadratische vergelijking oplost. Het lost ook polynomen van andere graden op.
- Als een term niet bestaat, is de coëfficiënt 0. Het kan handig zijn om de vergelijking te herschrijven als dit gebeurt, bijvoorbeeld: x + 6 = x + 0x + 6.
- Als je een polynoom hebt ontbonden met behulp van de kwadratische formule en antwoorden hebt verkregen met radicalen, converteer dan de waarden van X voor breuken om ze te bekijken.
- Als de term geen geschreven coëfficiënt heeft, is deze 1, dat wil zeggen x = 1x.
- Na voldoende oefening zul je uiteindelijk in staat zijn om hoofdpolynomen te factoriseren. Schrijf ze tot die tijd op papier.
Waarschuwingen
- Als je dit concept in een wiskundeles leert, let dan op de tips van de docent en gebruik niet alleen je favoriete methode. Uw docent kan het gebruik van een specifieke methode bij een examen vragen of het gebruik van een grafische rekenmachine niet toestaan.
Benodigde materialen
- Potlood
- Papier
- Kwadratische vergelijking (ook bekend als de tweedegraads polynoom)
- Grafische rekenmachine (optioneel)
