Inhoud

• Stappen
• Tips
• Waarschuwingen

Voordat de rekenmachine arriveerde, moesten zowel studenten als docenten de vierkantswortels met de hand berekenen. Er zijn verschillende methoden ontwikkeld om beter met dit beangstigende proces om te gaan, sommige met benaderingen en andere met een nauwkeurigere waarde. Om te leren hoe u met de hand een vierkantswortel kunt berekenen met behulp van eenvoudige bewerkingen, leest u de Stap 1 beginnen.

Stappen

Methode 1 van 2: Factorisatie in priemgetallen gebruiken

1. 

   Deel het getal door perfecte kwadraten. Deze methode gebruikt de factoren van een getal om een ​​vierkantswortel te berekenen (afhankelijk van de waarde kan dit een nauwkeurig of geschat antwoord zijn). U factoren van een aantal zijn alle andere die zich vermenigvuldigen om dit te bereiken. Je zou bijvoorbeeld kunnen zeggen wat de factoren zijn en waarom. Perfecte vierkanten, aan de andere kant, zijn hele getallen die het resultaat zijn van de vermenigvuldiging tussen andere hele getallen. Waarden, en, bijvoorbeeld, zijn perfecte vierkanten omdat ze kunnen worden weergegeven door respectievelijk, en. De perfecte kwadratenfactoren, zoals je je misschien kunt voorstellen, zijn ook perfecte vierkanten. Om te beginnen met het vinden van de vierkantswortel via priemfactorisatie, verlaagt u de waarden tot uw perfecte kwadratenfactoren.
   • In een voorbeeld moet u de vierkantswortel van de hand berekenen. Verdeel om te beginnen de waarde in uw perfecte kwadraatfactoren. Omdat het een veelvoud is van, is het nog steeds bekend dat het deelbaar is door - een perfect vierkant. Een snelle mentale indeling zal je laten zien dat het in de tijd past, wat toevallig ook een perfect vierkant is. Daarom zullen de perfecte kwadraten van zullen zijn en waarom.
   • De eerste fase van de oefening wordt geschreven als:

2. 

   
   
   Bereken de vierkantswortels van de perfecte kwadraten. De eigenschap van het vierkantswortelproduct stelt dat, voor alle waarden en gegevens ,. Hierdoor is het nu mogelijk om de vierkantswortels van de factoren te extraheren en ze te vermenigvuldigen om tot het antwoord te komen.
   • In het betreffende voorbeeld worden de vierkantswortels van en als volgt geëxtraheerd:

3. 

   
   
   Verlaag de resulterende waarde tot de eenvoudigste termen, als het niet mogelijk is om deze perfect te ontbinden. In de praktijk is het onwaarschijnlijk dat de cijfers perfect en exact zijn met factoren die ook perfecte vierkanten zijn (zoals). In dergelijke gevallen is het misschien niet mogelijk om een ​​exact volledig antwoord te geven. In plaats daarvan, door de factoren te bepalen die perfecte vierkanten kunnen zijn, kunt u het antwoord berekenen op basis van een kleinere, eenvoudigere en gemakkelijker te bewerken vierkantswortel. Verminder het aantal gewoon tot de combinatie van factoren die perfecte vierkanten zijn met andere die dat niet zijn. Vereenvoudig vervolgens het resultaat.
   • Stel dat de vierkantswortel van als voorbeeld wordt gebruikt. Dit getal is niet het product van twee perfecte vierkanten, dus het is niet mogelijk om tot een geheel getal te komen zoals in het vorige geval. Het is echter het product tussen een perfect vierkant en een ander getal - e. Deze gegevens worden gebruikt om het zoeken naar het antwoord in de eenvoudigste bewoordingen als volgt te versnellen:

4. 

   
   
   Maak indien nodig schattingen. Met de vierkantswortel in zijn eenvoudigste bewoordingen, is het eenvoudiger om een ​​numerieke respons te schatten door de waarde van de resterende vierkantswortels te bepalen en de juiste waarden te vermenigvuldigen. Een manier om uzelf door deze schattingen te leiden, is door de perfecte vierkanten te vinden naast het getal in de vierkantswortel. U zult weten dat de decimalen van dat getal tussen deze twee waarden zullen liggen en dat het daarom gemakkelijker is om te bepalen wat er tussen de twee bestaat.
   • Terugkerend naar het voorbeeld en als e, kun je zien dat het tussen e ligt - en waarschijnlijk dichter bij het grotere aantal. Bij het schatten zul je dat merken. Controleer de werking gewoon met behulp van een rekenmachine en u zult merken dat u heel dicht bij het echte antwoord bent gekomen ().
     • Dit werkt ook bij grotere aantallen. Het is bijvoorbeeld mogelijk om in te schatten dat het tussen en ligt (waarschijnlijk dichter bij het grotere aantal). Als e en tussen beide waarden staat, is de vierkantswortel waarschijnlijk ook tussen en. Rekening houdend met het feit dat het een kleine stap verwijderd is, kunt u met een gerust hart stellen dat uw vierkantswortel is spoedig onder de waarde. Wanneer u de berekening op een rekenmachine uitvoert, komt u tot het resultaat - de aanname was correct.

5. 

   Verlaag eerst het aantal tot uw gemeenschappelijke meerdere minima. Het is niet nodig om factoren te vinden die perfecte vierkanten zijn als je de priemfactoren van een getal kunt bepalen (dat wil zeggen, die ook priemgetallen zijn). Schrijf de waarde in kwestie op basis van het minimum van gemeenschappelijke veelvouden. Zoek vervolgens naar paren priemgetallen die bij elkaar passen. Als u twee opties vindt die aan deze vereisten voldoen, haalt u ze uit de vierkantswortel en plaatst u ze een van hen buiten.
   • Probeer met deze methode bijvoorbeeld de vierkantswortel van te vinden. Dat en dat is bekend. Hierdoor is het mogelijk om de vierkantswortel te schrijven in termen van factoren :. Neem gewoon de twee cadeautjes in de wortel en plaats er een aan de buitenkant om tot de eenvoudigste termen te komen :. Vanaf hier is het gemakkelijk in te schatten.
   • Probeer als laatste voorbeeld de vierkantswortel te berekenen van:
     • 
       Hier zijn er verschillende waarden binnen de vierkantswortel - aangezien het een priemgetal is, neem je een van de paren en plaats je een van de eenheden aan de buitenkant.
     • Als resultaat zal de vierkantswortel in zijn eenvoudigste bewoordingen of zijn. Vanaf hier kunt u de waarden van en schatten als u dat wilt.

Methode 2 van 2: Vierkantswortels handmatig berekenen

1. 

   Scheid eerst de spaties van het getal in paren. Deze methode maakt gebruik van een proces dat lijkt op de staartdeling om de vierkantswortel te berekenen exact, één huis tegelijk. Hoewel het niet cruciaal is, zult u merken dat het proces gemakkelijker is als het visueel is georganiseerd en het aantal in delen is verdeeld. Het eerste dat u moet doen, is een verticale lijn tekenen die het werkgebied in twee gebieden scheidt, en vervolgens een kleinere horizontale lijn rechtsboven maken om een ​​klein gedeelte bovenaan en een groot onderaan te hebben. Scheid nu de spaties van het getal in paren, beginnend met de komma: het volgen van deze regel wordt bijvoorbeeld. Schrijf de waarde bovenaan de linker ruimte.
   • Probeer in een voorbeeld de vierkantswortel van te berekenen. Maak twee lijnen om het werkgebied te verdelen zoals in het vorige geval en schrijf in het bovenste gedeelte van de linker ruimte, en maak je geen zorgen als er maar één nummer aan de linkerkant is in plaats van een paar. U moet het antwoord () rechtsboven schrijven.

2. 

   Zoek uit wat het grootste gehele getal is waarvan het kwadraat kleiner is dan of gelijk is aan het getal (of paar getallen) aan de linkerkant. Begin met het meest linkse deel van uw nummer, of het nu een paar is of een geïsoleerde waarde. Bepaal wat het grootste perfecte kwadraat is dat kleiner is dan of gelijk is aan dat getal en neem de vierkantswortel: deze waarde wordt weergegeven door. Schrijf het op in de ruimte rechtsboven en schrijf je vierkant in het kwadrant rechtsonder.
   • In het voorbeeld is het meest linkse gedeelte het nummer. Zoals bekend is, is het mogelijk om te stellen dat, aangezien het de grootste gehele waarde is waarvan het kwadraat kleiner is dan of gelijk is aan. Schrijf in het bovenste kwadrant - dit is het eerste vierkant van het resultaat. Schrijf vervolgens (kwadraat van) in het kwadrant rechtsonder - deze waarde is belangrijk voor de volgende stap.

3. 

   Aftrekken het nieuw berekende paarnummer aan de linkerkant. Net als bij de staartdeling, is de volgende stap het aftrekken van het gevonden kwadraat van het zojuist bestudeerde deel. Schrijf deze waarde onder het eerste gedeelte en voer de juiste aftrekking uit door het antwoord hieronder te schrijven.
   • In het voorbeeld wordt er één onder die geplaatst om de aftrekking uit te voeren. Het antwoord is hier gelijk aan.

4. 

   Ga naar het volgende paar. Verplaats het volgende deel van het studienummer naar beneden en naast de afgetrokken waarde die u zojuist hebt gevonden. Vermenigvuldig vervolgens de waarde rechtsboven met en schrijf het antwoord in het kwadrant rechtsonder. Scheid nu gewoon een spatie voor het vermenigvuldigingsprobleem in de volgende stap :.
   • In het voorbeeld is het volgende beschikbare paar. kijk er gewoon naar in het kwadrant linksonder. Vermenigvuldig dan de waarde met en verkrijg het, zodat. Schrijf in de rechter benedenhoek, gevolgd door.

5. 

   Vul de lege velden in het rechter kwadrant in. Elk van hen heeft nu hetzelfde gehele getal. Het moet de grootste zijn waardoor het resultaat van de vermenigvuldiging rechts kleiner dan of gelijk is aan het getal dat nu links aanwezig is.
   • In het voorbeeld vult u de lege plekken in met het resultaat :. Dit is een waarde groter dan. Op die manier is het te groot, maar waarschijnlijk is het voldoende. Schrijf in de lege velden en ga verder :. Er wordt bevestigd dat het aan de behoefte voldoet, want, schrijf dan het nummer in het kwadrant rechtsboven.Dit is het tweede vierkant in de vierkantswortel van.

6. 

   Trek de berekende waarde af van het getal aan de linkerkant. Ga door met aftrekken in dezelfde stijl als de staartdeling. Neem het resultaat van het vermenigvuldigingsprobleem in het rechterkwadrant en trek het af van de waarde die nu aan de linkerkant staat, en plaats je antwoord er net onder.
   • In het voorbeeld wordt het afgetrokken van, wat resulteert in.

7. 

   Herhaal stap 4. Scrol omlaag naar het volgende deel van het getal waarvan de vierkantswortel wordt berekend. Wanneer u bij de komma komt, schrijft u een decimaal in het antwoord in het kwadrant rechtsboven. Vermenigvuldig vervolgens de waarde rechtsboven met en schrijf de bewerking zoals eerder in wit ().
   • In het voorbeeld, terwijl de komma nu bereikt wordt, schrijf het rechtsboven na het huidige antwoord. Ga vervolgens naar het volgende paar () in het linkerkwadrant. Door te vermenigvuldigen met de waarde rechtsboven (), krijg je - schrijf in het kwadrant rechtsonder.

8. 

   Herhaal stap 5 en 6. Zoek de grootste decimale waarde waarmee u de lege velden aan de rechterkant kunt invullen die een resultaat opleveren dat kleiner is dan of gelijk is aan het nummer dat momenteel aan de linkerkant staat. Ga dan gewoon verder met het probleem.
   • In het voorbeeld, dat kleiner is dan of gelijk is aan het getal links (). Als je dat opmerkt, wat te hoog is, kom je tot de conclusie dat dit het antwoord is waarnaar je op zoek bent. Schrijf het als de volgende decimaal in het kwadrant rechtsboven en trek het resultaat van het vermenigvuldigen van het getal aan de linkerkant af :.

9. 

   Ga door met het berekenen van de decimalen. Zet een paar nullen naar links en herhaal de Stappen 4, 5 en 6​Voor nog meer precisie, blijf het proces herhalen totdat je de honderdsten, duizendsten enzovoort in je antwoord hebt gevonden. Ga gewoon door met deze cyclus totdat u het resultaat bereikt in de gewenste decimaal.

Het proces begrijpen

1. 

   Definieer het getal waarvan de vierkantswortel wordt berekend als de oppervlakte van een vierkant. Omdat dit gebied een formule heeft, waarbij het de lengte van een van zijn zijden voorstelt, probeert u bij het zoeken naar de vierkantswortel van zijn waarde de lengte van het betreffende vierkant te berekenen.

2. 

   Specificeer de variabelen voor elke decimaal in uw antwoord. Stel de variabele in als de eerste decimaal van (vierkantswortel wordt berekend), de tweede, de derde, enzovoort.

3. 

   Wijs alfabetische variabelen toe aan elk deel van het startnummer. Koppel de variabele aan het eerste paar decimalen in (beginwaarde), het tweede paar decimalen, enzovoort.

4. 

   Begrijp het verband tussen deze methode en de staartdeling. Deze manier om de vierkantswortel te berekenen is in feite een staartdelingsprobleem dat het startgetal deelt door zijn vierkantswortel, geven zijn vierkantswortel als reactie. Net als bij staartdelingsproblemen, waarbij de rente op één decimaal tegelijk wordt gericht, moet u zich hier op twee tegelijk concentreren (die overeenkomen met de volgende vierkantswortel achter de komma).

5. 

   Zoek het grootste getal waarvan het kwadraat kleiner is dan of gelijk is aan. De eerste decimale plaats in het antwoord vertegenwoordigt het grootste gehele getal waarvan het kwadraat niet groter is dan (so). In het voorbeeld, en, zodat.
   • Als u in het ene voorbeeld wilt delen met behulp van de staartdelingsmethode, zou de eerste stap vergelijkbaar zijn: u moet naar het eerste cijfer () zoeken en het grootste gehele getal vinden dat, wanneer vermenigvuldigd met, zou resulteren in iets kleiner dan of gelijk aan. In wezen gaat het erom die weg te vinden. In dit geval zou het gelijk zijn aan.

6. 

   Visualiseer het vierkant waarvan u de oppervlakte wilt berekenen. Het antwoord, dat de vierkantswortel is van het startnummer, wordt weergegeven door, dat de lengte van een gebiedsvierkant (startnummer) beschrijft. De waarden voor, en vertegenwoordigen de decimalen die aanwezig zijn in. Een andere manier om deze definitie uit te drukken, is door te stellen dat in het geval van een antwoord met twee decimalen, in het geval van een antwoord met drie decimalen, enzovoort.
   • In het voorbeeld. Onthoud dat het het antwoord vertegenwoordigt met in de eenheden en in de tientallen. Als u en als voorbeeld neemt, resulteert dit in het nummer. Als het de oppervlakte van het vierkant vertegenwoordigt, vertegenwoordigt het de oppervlakte van het grootste interne vierkant, de oppervlakte van het kleinste interne vierkant en de oppervlakte van elk van de resterende rechthoeken. Als je dit lange en gecompliceerde proces uitvoert, heb je het hele vierkante gebied bij de hand, door alleen de gebieden toe te voegen die zijn berekend op basis van de vierkanten en rechthoeken erin.

7. 

   Trek af van. Zet een paar () decimalen weg. De uitdrukking vertegenwoordigt bijna het hele oppervlak van het vierkant, waarvan het grootste interne vierkant is afgetrokken. De rest kan op zijn beurt worden weergegeven door die verkregen in Stap 4 (in het bovenstaande voorbeeld). Hier (oppervlakte van beide rechthoeken plus de oppervlakte van het kleinste vierkant).

8. 

   Zoek naar, ook geschreven als. In het voorbeeld ken je () en () al, en het is nu nodig om de waarde van te berekenen. Het zal waarschijnlijk geen geheel getal zijn, dus u moet het doen werkelijk bereken de grootste hele mogelijkheid die aan de voorwaarde voldoet. Eindelijk, je blijft achter.

9. 

   Los de operatie op. Om verder te gaan, vermenigvuldigt u met, verandert u de positie van de tientallen (het equivalent van het vermenigvuldigen van de waarde met), plaatst u deze in de positie van de eenheden en vermenigvuldigt u het resultaat met. Met andere woorden, voer gewoon de bewerking uit. Het is hetzelfde als wanneer je schrijft (is) in het kwadrant rechtsonder in het Stap 4​Al in Stap 5, op zijn beurt vindt u de grootste gehele waarde die in de lege ruimte past die aan de voorwaarde voldoet.

10. 

    Trek de oppervlakte af van de totale oppervlakte. Dit resulteert in het gebied dat tot nu toe buiten beschouwing is gelaten (en dat zal worden gebruikt om de volgende vierkanten op een vergelijkbare manier te berekenen).

11. 

    Herhaal het proces om de volgende decimaal te berekenen. Scrol omlaag naar het volgende paar () van om naar links te gaan en zoek naar de hoogste waarde die aan de voorwaarde voldoet (gelijk aan het schrijven van tweemaal de waarde met twee decimalen vergezeld van. Zoek naar de hoogst mogelijke decimale waarde in de lege velden) dat levert een resultaat op dat kleiner is dan of gelijk is aan, zoals voorheen.

Tips

• Deze methode werkt met elk grondtal - niet alleen het (decimale) grondtal.
• In het voorbeeld kan een "rust" worden beschouwd:
  
• Een alternatieve methode die continue breuken gebruikt, volgt deze formule:
  
  In een voorbeeld, om de vierkantswortel te berekenen van, het gehele getal waarvan het kwadraat het meest overeenkomt met het startgetal, zodat e. Wanneer u de waarden in de formule invoert en de schatting naar boven afrondt, krijgt u al het resultaat (minimumwaarden) of ongeveer (). De volgende term zou zijn, of ongeveer (). Elke extra term voegt bijna drie decimalen precisie toe ten opzichte van de vorige poging.

Waarschuwingen

• Vergeet niet om de decimalen in paren te scheiden van de komma. Een scheiding van hoe, bijvoorbeeld, zal nutteloze resultaten opleveren.